L’ultimo Teorema di Fermat

La storia dell’ultimo teorema di Fermat sembra scritta dalla penna di un romanziere.

La trama sembra dipanarsi lungo misteri e falsi indizi, facendoci viaggiare per tutto il mondo attraverso secoli e culture differenti.

Già anche solo il titolo è fuorviante, quello di Fermat non è propriamente un teorema quanto piuttosto una congettura.

Ma come in tutte le storie che si rispettino, occorre iniziare dal principio.
Per noi questo coincide con la Scuola pitagorica del VI secolo avanti Cristo.

Terne Pitagoriche

Al nome di Pitagora la nostra memoria non può che andare al suo famoso Teorema: la somma dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa.

Se come da Figura 1 chiamiamo i due cateti rispettivamente a,b e chiamiamo c l’ipotenusa del triangolo rettangolo, allora il Teorema di Pitagora può essere descritto dall’equazione

a²+b²=c².

Se ad esempio la lunghezza dei due cateti è 1 (ovvero a=1 e b=1) allora la lunghezza dell’ipotenusa sarà √2.

Potremmo chiederci: è possibile trovare terne (a,b,c) che soddisfino l’equazione precedente composte solo da numeri naturali (ovvero {0,1,2,3,…})?

La risposta è sì ed è possibile trovare infinite di queste terne, che prendono il nome di Terne Pitagoriche.

Ad esempio, se andiamo a sostituire (3,4,5) nella nostra equazione al posto di (a,b,c) otteniamo 9+16=25, la condizione di uguaglianza viene soddisfatta.
(3,4,5) è quindi una soluzione dell’equazione e quindi una terna pitagorica.

La congettura di Fermat

Dall’antica Grecia delle terne pitagoriche spostiamoci nella Francia del XVII secolo.

Il matematico e magistrato Pierre de Fermat leggendo una copia dell’edizione del 1670 dell’Aritmetica di Diofanto si segna a margine alcune osservazioni.

Tra queste, una è destinata a diventare famosa:

È impossibile separare un cubo in due cubi, o una potenza quarta in due potenze quarte, o in generale, tutte le potenze maggiori di 2 come somma della stessa potenza.

In termini moderni quello che Fermat sta enunciando è quanto segue:

Non esistono soluzioni composte da numeri naturali dell’equazione

aⁿ+bⁿ=cⁿ

per n>2.

Di fatto, è una generalizzazione della ricerca di terne pitagoriche; Fermat afferma che se al posto dell’esponente n=2 usiamo degli esponenti più grandi, è impossibile trovare delle terne che soddisfino la condizione di uguaglianza.

Si escludono quelle che vengono chiamate le soluzioni banali, ovvero quelle in cui almeno una delle tre componenti è uguale a zero, come ad esempio (0,0,0).

La nota di Fermat prosegue con la frase sibillina che farà impazzire generazioni di matematici:

Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina.

Fermat tra i suoi altri scritti fornisce la dimostrazione solo per il caso n=4.
Non vi è alcuna traccia di una dimostrazione del caso generale.

Il Teorema di Fermat-Wiles

Per secoli in seguito alla nota di Pierre di Fermat i matematici di tutto il mondo hanno provato senza successo a dimostrarne l’ultima congettura.

Quella frase sibillina a margine ha continuato a risuonare nei corridoi delle università e, come un canto delle sirene, ha irretito a sé ignari naviganti del mare della Matematica.

Finché quel canto non è giunto alle orecchie del britannico Andrew Wiles, incantandolo fin dalla tenera età.

Nel 1980 Wiles ottiene il dottorato presso l’Università di Cambridge con una tesi nel contesto delle curve ellittiche.

Qualche anno dopo, nel 1985, il Kenneth Alan Ribet dimostra che per l’ultima congettura di Fermat è sufficiente dimostrare un’altra congettura, relativa al mondo delle curve ellittiche, chiamata Taniyama-Shimura.

L’animo di Wiles si accende a tal punto a questa notizia che per sette anni lavora incessantemente sull’enunciato di Taniyama-Shimura.

Immaginate di immergervi per sette anni in un problema di cui non siete minimamente sicuri di trovare una soluzione.
E immaginate di farlo in un contesto in cui non importa quanto impegno avete messo nel vostro lavoro, se non riuscite a posizionare tutte le tessere del puzzle è molto probabile che tutti i vostri sforzi siano stati vani.
Se non bastasse, immaginate che in diverse occasioni siete convinti di essere finalmente arrivati alla fine, per poi scoprire qualche settimana dopo che il vostro lavoro contiene delle lacune potenzialmente irrecuperabili.

Fortunatamente nel 1994, grazie anche all’aiuto del suo studente Richard Taylor, riesce a completare un lavoro dalle dimensioni enormi e a dimostrare finalmente la congettura di Taniyama-Shimura.

L’ultima congettura di Fermat non è più tale, ma diventa ufficialmente il Teorema di Wiles-Fermat.

L’impatto mediatico

L’impatto sulla comunità matematica generato dal lavoro di Wiles ha avuto proporzioni gigantesche.

Non solo per il fatto di aver risolto uno dei problemi più famosi reputato da molti irrisolvibile, ma soprattutto per il fatto di aver coinvolto diverse branche della Matematica con tecniche e strumenti rivoluzionari.

I premi vinti da Wiles, come la medaglia Wolf o il premio Abel, sono solo un indice del rispetto che tutto il mondo matematico ha nei suoi confronti.

Non è comune che le cronache accademiche, diventino famose anche nella cultura popolare.
Ma la romantica storia del Teorema di Wiles-Fermat è una delle più classiche eccezioni.

Vi lasciamo con un frame (Figura 2) dell’episodio 10×02 dei Simpson dal titolo “L’inventore di Springfield”, in cui Homer cerca di diventare un inventore.

Alla lavagna compare l’equazione

3987¹²+ 4365¹² =4472¹²

che sembra essere un controesempio al Teorema di Wiles-Fermat.
Se provate con la vostra calcolatrice, è molto probabile che il risultato che ottenete a sinistra sia lo stesso che ottenete sulla destra.

Ma come è possibile? Il teorema non dice esattamente che questo è impossibile? È un complotto dei poteri forti che vogliono nasconderci la verità?

La verità è che Matt Groening, il padre dei Simpson, non è completamente digiuno di Matematica.
Quella alla lavagna è una “quasi-soluzione”, l’uguaglianza non è vera, ma così appare su una calcolatrice per motivi di approssimazione.

E l’inganno sta tutto nel fatto che la vostra calcolatrice, a meno di essere molto potente, approssima il risultato fino a far svanire quelle poche importantissime unità.

Fonti

[1]: Simon Singh, L’ultimo teorema di Fermat, Milano, Rizzoli, 1999, ISBN 88-17-11291-7

[2]: Ultimo teorema di Fermat – Wikipedia 

Lorenzo De Biase

Matematico, ricercatore e sbadato professionista.
Non chiedetegli di fare i conti al ristorante, non è capace: vi ritroverete a dover pagare quantità immaginarie ed essere costretti a lavare i piatti per qualche settimana.