Sistemi caotici – casualità e causalità

Sistemi caotici…

Se dovessimo dare un esempio di avvenimento casuale, probabilmente useremmo un lancio di dado, o di una moneta.

Ah, quanto romanticismo nel lasciare scegliere il fato…ma lo stiamo facendo davvero?

Spesso quando pensiamo di aver utilizzato il caso, abbiamo invece utilizzato il caos.

E questo fa tutta la differenza del mondo.

Il concetto di casualità…

Che cosa vuol dire casuale?

In matematica, un evento casuale è un evento del quale possiamo conoscere i potenziali esiti e se siamo bravi anche la probabilità di ognuno di essi.

Tuttavia, al momento dell’evento, non siamo in grado di prevedere cosa sta per succedere con certezza, nemmeno facendo tutti i calcoli del mondo.

Uno degli esempi classici è, per l’appunto, il lancio della moneta. Può uscire testa o può uscire croce con uguale probabilità, il famoso 50 e 50. Non lo sapremo fino al momento in cui la moneta si ferma.

L’esempio è tuttavia valido solamente come esperimento mentale, mentre nel caso reale… è sbagliato!

Molti sistemi, apparentemente casuali, sono in realtà sistemi caotici.

… e quello di caoticità.

Prendiamo una bella moneta da 2€ e sfidiamo un amico a testa o croce.

Supponiamo anche di essere un robot con un cervello in grado di compiere calcoli molto velocemente e degli occhi imbottiti di sensori in grado di rilevare angoli, distanze e velocità.

Il nostro amico è fregato, e pagherà da bere.

La moneta lanciata in aria partirà dalla nostra mano con una certa angolazione. Seguirà poi una traiettoria parabolica, e nel frattempo compirà un certo numero di rotazioni. Ad un certo punto impatterà un tavolo, o il pavimento, o qualsiasi altra cosa. Questo farà sì che rimbalzi e che compia poi altre rotazioni. Infine, è possibile che si metta a vorticare un po’ sul posto prima di poggiarsi definitivamente con una faccia a terra.

Tutta l’avventura mozzafiato della moneta non ha assolutamente nulla di casuale. Ogni passo descritto è un moto meccanico anche relativamente semplice del quale è possibile scrivere un’equazione.

L’insieme di tutte le equazioni relativamente semplici potrebbe dare vita ad un sistema che di semplice non ha proprio niente, ma che comunque è possibile risolvere.

Il risultato lancio della moneta è dunque perfettamente deterministico, e può essere calcolato se si dispone di un certo set di dati.

Tuttavia, anche se deterministico, l’evento risulta caotico.

Occhio agli spifferi!

Un sistema si dice caotico quando è estremamente sensibile alle condizioni iniziali e alle perturbazioni.

In parole povere, nei sistemi caotici una minuscola differenza negli eventi porta a risultati anche molto diversi. Talmente diversi da risultare, ai nostri occhi, casuali.

Sono sicuro che almeno una volta nella vita tutti ci siamo sorbiti la storia del battito d’ali di una farfalla in Giappone che genera un uragano non ho capito bene dove…

Ecco, il concetto è quello, ma magari possiamo dirlo davvero con la scienza. Torniamo all’esempio della moneta.

Una spintarella col dito un po’ più forte può portare ad un diverso numero di rotazioni. Che può voler dire un impatto con la superficie ad un angolo diverso. Che può voler dire rimbalzare da un’altra parte. Che può voler dire ruotare ancora.

E se durante il lancio muovessimo un po’ il polso? La moneta potrebbe cadere su un punto diverso della superficie e avere un comportamento completamente diverso!

Ma basta con le monete, tra i sistemi caotici ce n’è uno molto più divertente: IL DOPPIO PENDOLO!

Un pendolo è una massa libera di oscillare, e generalmente non è che sia così interessante da stare a fissare. Ma avete mai provato a mettere un pendolo sotto un pendolo? IL DELIRIO.

Parte, ruota, poi non ruota, poi ruota di nuovo, poi pare che si ferma e invece OOOH MA CHE STAI FACENDO??

L’equazione del doppio pendolo può essere scritta e “calcolata”, ma ai nostri occhi il suo movimento sembra davvero privo di ogni criterio.

Un pendolo segna l’ora, con due pendoli che ci facciamo?

Ho preso du’ pendoli, così uno me lo magno..

I sistemi caotici come il doppio pendolo hanno applicazioni molto più pratiche dello stare semplicemente a fissarli per ore (che poi a me andava bene anche così).

Una che mi ha sempre affascinato è quella di smorzare la risonanza meccanica dei sistemi.

Si racconta che un plotone di soldati, marciando su un ponte, lo abbia fatto crollare rovinosamente. Non per il peso del plotone, bensì per aver messo in risonanza l’intera struttura del ponte con la vibrazione della marcia.

La risonanza è un fenomeno per il quale due oscillatori posti vicini tendono a sincronizzare la propria oscillazione.

Un diapason vibrante ad esempio può farne vibrare un altro inizialmente fermo senza un contatto fisico. Due pendoli messi vicini sullo stesso piano tenderanno invece a sincronizzare l’oscillazione.

La cosa affascinante, ma pericolosa, è che il fenomeno della risonanza in generale amplifica l’ampiezza delle oscillazioni, e di conseguenza aumenta di molto l’accumulo di energia del sistema…e cosa succede ad un sistema con troppa energia?

Bravissimi, si rompe.

Questo può davvero accadere ad un ponte o ad un grattacielo, che per sua natura somiglia molto ad un’asta, e di conseguenza è un formidabile oscillatore. Magari non per via di un plotone di soldati, ma in una qualsiasi zona sismica ad esempio bisogna tenere in considerazione le oscillazioni generate dai terremoti.

Il doppio pendolo, dicevamo, può evitare questo fenomeno. Esso infatti è privo di una frequenza naturale di risonanza, quindi se vogliamo evitare che un palazzo crolli possiamo…attaccargli sotto un altro pendolo! Abbiamo appena descritto quello che in ingegneria viene chiamato Mass Damper, o smorzatore armonico.