Approssimare pi greco con il biliardo
“Non vorrai arrenderti proprio ora, vero?”
Eccolo lì, Qrxrq, che vi guarda beffardo dall’altra parte del tavolo di biliardo quantistico.
“No che non mi arrendo! Per chi mi hai preso? Lasciami ancora qualche momento per fare dei tentativi…”
“Non dimenticarti che puoi considerare gli urti completamente elastici…” incalza con tono canzonatorio il vostro avversario del gioco di indovinelli più antico dell’universo.
“Stai zitto un attimo che mi distrai! Dammi qualche secondo per fare mente locale sul tuo indovinello.
Dunque, abbiamo detto che ci sono due palline, una rossa e una blu, e un muro sul lato della pallina blu (come in Figura 1).
La pallina rossa viene lanciata contro quella blu, che va a sbattere contro il muro per poi tornare indietro e riscontrarsi con la pallina rossa, il tutto con urti completamente elastici in modo che non ci sia dissipazione di energia.
Se la massa m₁ della pallina rossa è uguale alla massa m₂ della pallina blu, quando le due palline si riscontrano, la blu si ferma e la rossa se ne va via; in questo caso il numero di impatti pallina-pallina e pallina-muro sono esattamente 3.
Se la massa della pallina rossa è cento volte quella della pallina blu, allora la blu continua a rimbalzare più volte tra la rossa e il muro prima che non ci siano più impatti; in questo caso 31.
Se la massa della pallina è diecimila volte quella della pallina blu il numero di impatti è 314.
La grande magia è che se prendo la massa della rossa 100ⁿ volte quella della blu, ottengo un numero di impatti che sono ESATTAMENTE le n prime cifre significative di π, giusto?”
“Proprio così mio caro” vi risponde Qrxrq con la sua vocina melliflua “e sta a te scoprire perché π spunta fuori!”
Conservazione dell’energia cinetica
“Ti vedo sperduto mio caro…” insinua malevolo Qrxrq “sembra proprio che questo round me lo stia per aggiudicare io!”
“Aspetta a cantare vittoria menagramo, ora ti faccio vedere” rispondete a tono.
Sì, ma in che modo? Non avete la più pallida idea nemmeno da dove partire.
Quando le cose si fanno confuse, bisogna partire dalle basi e rimettere a posto le informazioni di partenza.
Gli urti delle palline sono completamente elastici… che cosa significa?
Significa che l‘energia cinetica delle palline in collisione, ovvero la quantità di energia che le palline possiedono per il semplice fatto di essere in moto, non va dispersa.
Ovvero, la somma delle energie cinetiche delle due palline deve essere costante, non può cambiare: magari aumenterà il movimento dell’una a scapito dell’altra, ma nulla verrà creato, nulla verrà distrutto e, in questo caso, nulla verrà disperso.
Indicando con m₁ e m₂ rispettivamente le masse delle palline rossa e blu e con v₁ e v₂ le loro rispettive velocità, esprimiamo la conservazione della quantità di moto come
1/2 m₁ v₁²+ 1/2 m₂ v₂² = costante
A cosa ci serve? Non so sappiamo ancora, ma magari ci torna utile.
Conservazione della quantità di moto
“Ancora niente?” domanda con un ghigno il vostro antipatico avversario.
“Forse qualcosa, ma lasciami pensare in pace…” rispondete mentre riprendete il filo della vostra concentrazione.
Dunque, cosa altro abbiamo?
Beh, dopo che la pallina rossa viene lanciata, sul sistema pallina-pallina-muro non agisce più alcuna componente esterna. Quindi, il sistema dinamico è isolato.
In un sistema dinamico isolato, c’è un’altra quantità che viene conservata, la quantità di moto.
La quantità di moto è il prodotto della velocità con la massa dell’oggetto preso in esame; in altre parole, potremmo pensarla come la difficoltà a fermare un oggetto in movimento.
Un camion molto pesante che va abbastanza lento è molto più difficile da fermare di un moscerino alla stessa velocità; d’altro canto, anche un leggerissimo proiettile sparato a grandi velocità è molto difficile da fermare.
Utilizzando la notazione del paragrafo precedente possiamo esprimere quindi il fatto che la quantità di moto del sistema resti invariata con
m₁v₁+ m₂v₂ = costante
Come ci aiuta a risolvere il nostro problema? Ancora non lo sappiamo, ma non scoraggiamoci.
Spazio delle fasi
“Conto fino a π e poi il punto andrà a me” sghignazza divertito Qrxrq.
Ma voi non avete la testa per accogliere questo tipo di provocazioni, siete presi da un’idea per la testa.
Avete due equazioni, energia cinetica e quantità di moto, in due incognite, le velocità delle due palline.
Furbi come delle volpi, andate a vedere quello che succede sul piano cartesiano quando ponete x= v₂√m₂ e y=v₁√m₁, quello che qualche matematico chiamerebbe lo spazio delle fasi.
Qui, l’equazione della conservazione dell’energia cinetica diventa x²+y²=k ovvero l’equazione di una circonferenza.
Al principio, nel momento in cui la pallina rossa viene lanciata, la velocità è tutta in possesso di questa; quindi, ci si trova esattamente nel punto indicato in Figura 2.
Una volta avvenuta la collisione, ci si sposta su un altro punto della circonferenza: quale?
Quello che interseca la retta che esprime la conservazione della quantità di moto passante dal punto in cui vi trovavate in precedenza, come in Figura 3.
Osservando quello che ottenete (Figura 4), vi accorgete che gli archi di circonferenza tra due punti in cui siamo passati hanno tutti la stessa lunghezza, di conseguenza per sapere il numero di collisioni l’unica informazione di cui avete bisogno è tale lunghezza.
Dal momento che un angolo giro è 2π, allora il numero di collisioni sarà il massimo numero n tale che n*2α<π, ovvero n esprime un’approssimazione di π.
Palla al centro
Siete euforici. Chissà che faccia farà Qrxrq una volta che gli sciorinerete la soluzione.
Ma prima di farvi prendere troppo dall’entusiasmo, vi rendete conto che nonostante siate convinti della bontà della vostra soluzione, ci sono dei dettagli tecnici da sistemare. Non volete che Qrxrq si possa appellare a nulla.
Come rendere formale e inattaccabile la vostra idea? Ci vorrebbero mesi e mesi di lavoro per produrre un articolo scientifico a riguardo, anche solo ammettendo di esserne capaci.
Ma dopotutto non esistete solo voi. E se qualcuno avesse già affrontato questa questione?
Dopo pochi minuti di ricerca, lo trovate!
Il professor Galperin dell’Eastern Illinois University ha pubblicato nel 2003 un articolo dal titolo “Playing pool with π (the number π from a billiard point of view)” [it: giocare a biliardo con π (il numero π dalla prospettiva del biliardo)], su cui la questione viene sviscerata in tutti i suoi dettagli tecnici (e che potete andare a leggere seguendo il nostro link [1]).
Se dovesse essere troppo ostico, esiste anche un video divulgativo del canale YouTube 3Brown1Blue (dal quale abbiamo preso molte delle immagini di questo articolo) che potete vedere qui:
Beccati questo Qrxrq!
Fonti
[1]- Galperin, G. (2003). Playing pool with π (the number π from a billiard point of view). Regular and chaotic dynamics, 8(4), 375-394. DOI: 10.1070/RD2003v008n04ABEH000252. (Link diretto al pdf)
[2]- “Why do colliding blocks compute pi?” – YouTube, 3Blue1Brown [eng]
[3]- Come calcolare pi greco a furia di rimbalzi – Il Post, Maurizio Codogno
Matematico, ricercatore e sbadato professionista.
Non chiedetegli di fare i conti al ristorante, non è capace: vi ritroverete a dover pagare quantità immaginarie ed essere costretti a lavare i piatti per qualche settimana.
