Il paradosso di d’Alembert, attenzione alla resistenza!

A differenza dei diversi paradossi di cui si è discusso in precedenza, questo non è un paradosso di logica o matematica pura. In questo caso, il paradosso si deve alla matematica di un problema fisico. Infatti, il paradosso di d’Alembert, riguarda il mondo della fluidodinamica. Questo paradosso, ora risolto, è stato scoperto da Jean Le Rond d’Alembert, famoso per essere uno degli scienziati della prima enciclopedia.

Ritratto di Jean Le Rond d’Alembert a opera di Maurice de La Tour.

 

Le ipotesi del paradosso di d’Alembert

Il paradosso scaturisce da alcune ipotesi utilizzate dagli scienziati per semplificare la meccanica dei fluidi. Infatti, le equazioni utilizzate per descriverla sono molto complesse e richiedono una matematica di alto livello per essere comprese. Per evitarsi calcoli lunghi e problematici, soprattutto quando non esisteva la capacità di calcolo di oggi, si facevano ipotesi semplificative.

Per semplificare il problema, si sono utilizzate tre ipotesi: fluido non viscoso, incomprimibile e potenziale. Il fluido potenziale è un particolare stato in cui si può trovare un fluido, prettamente semplificazione matematica. Infatti, come per il potenziale gravitazionale, si fa l’ipotesi che la velocità del fluido derivi dalla derivata di una funzione scalare.

Una funzione scalare è una funzione che può essere descritta solo da numeri, a differenza delle grandezze vettoriali, che vengono descritte da un’intensità, una direzione e un verso. Questa è una semplificazione molto utile per alleggerire il carico computazionale.

La seconda ipotesi, quella di fluido incomprimibile è molto importante. Per alcuni fluidi, ad esempio molti liquidi, è una semplificazione che si può fare. Se si prendono due dei fluidi più importanti nello studio scientifico, quali l’acqua e l’aria, è un’ipotesi abbastanza comune. Infatti, l’acqua è sempre considerata in prima approssimazione come incomprimibile.

Per l’aria il discorso è più complicato. L’aria in quiete, o in movimento lento (meno di un terzo della velocità del suono) questa ipotesi tiene. A velocità più alte, oppure quando si mette in compressione, non va più bene.

L’ipotesi di fluido non viscoso è utile per portarsi a un’equazione molto semplice. Inoltre, la viscosità di molti fluidi, soprattutto l’aria, è molto bassa, quindi sembra una buona approssimazione.

Il paradosso di d’Alembert

Attraverso le approssimazioni che abbiamo appena descritto, si arriva al paradosso di d’Alembert. Infatti, se il fluido si muove con queste ipotesi, si nota che un corpo immerso in un fluido così approssimato non produrrà resistenza. L’evidenza del paradosso era già nota a d’Alembert.

Non scomodando l’aria ad alta velocità mossa da treni, aerei e automobili costruiti negli ultimi due secoli, anche un contemporaneo di d’Alembert andando a cavallo o in carrozza si doveva accorgere della resistenza dell’aria, o ancora di più qualcuno che lavorava a contatto con le acque, quindi andando in nave vedendo la resistenza dei piloni di un ponte in un fiume.

Il paradosso di d’Alembert scaturisce da una ipotesi in particolare: quella di fluido non viscoso. Per quanto è vero che la viscosità dell’aria non è alta, comunque è una delle poche istanze in cui una quantità piccola in confronto alle altre va considerata.

In altre parole, si tratta di una delle istanze del “Paradosso di reversibilità” in cui in un problema simmetrico nel tempo non dovrebbe poter generare un processo irreversibile. Comunque, le ipotesi di d’Alembert sono utili soprattutto nel campo dell’aerodinamica, se uno le usa conoscendo i limiti della trattazione.

Conclusioni

 

paradosso di d'alembert
La risoluzione del paradosso: lo strato limite. Fonte: Wikimedia commons

 

La risoluzione del paradosso è arrivata molto dopo il paradosso. Si è dovuto infatti aspettare l’apporto di Ludwig Prandtl, gigante dell’aerodinamica, per risolverlo. A lui si deve la teoria dello strato limite, in cui si concentra la viscosità in una piccola porzione di fluido vicino al corpo.

Questo ha permesso di arrivare al concetto di resistenza parassita, o parasitic drag in inglese. Questo risolve il problema del paradosso di d’Alembert: fuori la viscosità è trascurabile, e tutti gli effetti di resistenza vengono dal sottile strato limite (e dalla scia prodotta).

Alessandro Mantani

Sono studente di ingegneria aeronautica full time, e altrettanto full time posso perdermi a parlare di tutto lo scibile umano, con una predilezione per i mezzi veloci o che hanno un grosso motore, per arrivare fino a cose che non c'entrano granché, come la filosofia o la letteratura.

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