Viaggio nel mondo dei Paradossi: di esami a sorpresa e di colori

Ad occhi chiusi ripensate agli strani sogni che avete fatto la notte scorsa.
Vi trovavate nella Landa dei Paradossi, con la volpe cretese Verblù che aveva il compito di accompagnarvi all’uscita.
Insieme avevate affrontato il paradosso del barbiere e quello del mucchio.
(Le ondulate coltri del sonno non vi fanno ricordare? Per fortuna potete rileggere quello che è accaduto seguendo questo link)

Aprite gli occhi.

Al vostro sguardo appare una distesa violacea dai pendii morbidi, come se fosse stata generata proceduralmente da un algoritmo stocastico.

In lontananza scorgete un’imponente altura che si staglia all’orizzonte.

Di fronte a voi una volpe dagli occhi di un blu intenso:
“Ben svegliato straniero! Forza, alzati, che abbiamo molta strada da fare.

Vi mettete lentamente in piedi ancora confusi.

“Pensavi di essere dentro a un sogno? – vi domanda retoricamente Verblù – Potresti avere o non avere ragione, entrambe le cose allo stesso tempo.

Al termine dell’affermazione sibillina la volpe emette un risolino ruotando su sé stessa, per poi intraprendere un sentiero che sembra condurre proprio verso la montagna in lontananza.

Il paradosso dell’esame imprevisto

Proseguendo sul sentiero, incrociate un albero metallico color amaranto con inciso sulla corteccia quanto segue:

Un professore di logica, conosciuto per essere sempre di parola, annuncia ai suoi studenti che in un giorno della settimana successiva avrebbe dato una prova scritta imprevista. Aggiungendo inoltre, che gli studenti non sarebbero stati in grado di individuare il giorno della prova.

Dopo aver letto le incisioni sul metallo, vi si accende una lampadina.
L’esame non può essere di venerdì” riflettete ad alta voce “Perché se arrivati a giovedì sera gli studenti non hanno ancora fatto l’esame, saranno sicuri della sua data e addio sorpresa.”

“Ma analogamente – continuate – non può essere di giovedì, perché arrivati a mercoledì sera senza ancora fatto la prova, gli studenti sarebbero di nuovo sicuri della data; proseguendo così a ritroso, è possibile escludere ogni giorno della settimana.
Quindi l’esame a sorpresa non avrà luogo.

“Ottimo ragionamento!” vi risponde Verblù “Potresti andare a lezione per tutta la settimana tranquillo, senza paura dell’esame. Peccato che poi l’esame potrebbe svolgersi per davvero, ad esempio giovedì, e tu ne saresti sorpreso!

La vostra lampadina mentale si spegne nello sconforto.

“L’origine di questa situazione paradossale può essere fatta risalire al periodo della Seconda guerra mondiale, quando lo Swedish Radio Service annunciò un’esercitazione di difesa civile a sorpresa. Il matematico Lennart Ekbom propose poi il paradosso alla sua classe e venne poi pubblicato nel 1948 nella rivista di logica Mind.”

“Le cose si fanno decisamente complesse e, nonostante i diversi approcci, non esiste una soluzione* totalmente soddisfacente di questo paradosso.” (*che sia nota a chi scrive e alle fonti a cui fa riferimento.)

“Il logico scozzese Thomas O’Beirne nel 1965 ha cercato di fare chiarezza, facendo notare che il paradosso si basa su due affermazioni canoniche, più una terza che resta implicita:

  1. Ci sarà un compito un giorno della prossima settimana.
  2. Gli studenti non sapranno con anticipo quando ci sarà il compito.
  3. Gli studenti possono considerare le due affermazioni precedenti incondizionatamente vere.”

L’assurdo nasce nel momento in cui le prime due affermazioni sono vere e si cerca di rendere vera anche la terza. Un’affermazione che riguarda un evento futuro può essere vera per qualcuno (il professore) e non essere nota come vera per altri (gli studenti).
Senza quindi addentrarci nel tecnico, possiamo concludere che è impossibile per gli studenti convincersi al 100% che le affermazioni 1 e 2 siano vere, ed è proprio questo a far sì che l’esame sarà per loro sempre una sorpresa.

 

Il paradosso di Verblù e Bluver

 

Ad ogni spiegazione della volpe rossa dagli occhi blu vi sentite sempre più sovrastati dalla complessità, figuriamoci quando non esistono soluzioni universalmente accettate.

Cercate di riprendere un po’ di fiato mentale, facendo alla volpe una domanda che serbate da un po’ di tempo:
“Non ho mai sentito di qualcuno chiamarsi col nome Verblù, che origini ha?”

Il piccolo quadrupede rosso si gira verso di voi fissandovi con sguardo intenso:

Vedi, il colore dei miei occhi è cangiante. Un tempo erano verdi, ora sono diventati blu. Quindi: Verblù!
Viceversa se fossero stati blu e poi fossero diventati verdi, il mio nome sarebbe Bluver.

Ma come fai a essere sicuro che non cambieranno ulteriormente?” domandate curiosi “Magari un giorno di questi i tuoi occhi ritorneranno blu e il tuo nome dovrà tramutarsi in Verbluver.”

Il volto della volpe rivela un’espressione spaventosa e che non avreste immaginato appartenere a quel gioioso mammifero.

“Ma che ne vuoi sapere tu! I miei occhi ora sono blu e non cambieranno ulteriormente!”

Sfoggiate un po’ della vostra cultura paradossale: “La situazione mi sembra perfettamente analoga a quella esposta dal logico americano Nelson Goodman nel 1946 su Journal of Philosophy.”

“A livello esclusivamente logico non c’è nulla che ci assicuri che le cose non possano cambiare colore da un momento all’altro.
O in altre parole, niente assicura che la caratteristiche verde o verblù debbano essere più proiettabili, ovvero più facili da conservarsi in futuro, rispetto a verbluver.”

“Non voglio starti ad ascoltare!” ringhia la volpe “Ora seguimi, dobbiamo arrivare in cima alla montagna lì in fondo”.

Non ci sono risolini o volteggi questa volta.
Se prima eravate meravigliati dalla Landa dei Paradossi, ora cominciate a esserne spaventati.
Riuscirete a tornare alla vostra vita normale? Chi è davvero la volpe cretese Verblù?
Tutti le vostre speranze sono riposte nella terza e ultima parte di questo articolo su Missione Scienza.

 

Fonti

Per questo articolo abbiamo attinto più che generosamente dal bellissimo libro

[1]- Nicholas Falletta, “Il libro dei Paradossi”, Longanesi & C., 2005

Lorenzo De Biase

Matematico, ricercatore e sbadato professionista. Non chiedetegli di fare i conti al ristorante, non è capace: vi ritroverete a dover pagare quantità immaginarie ed essere costretti a lavare i piatti per qualche settimana.

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