Viaggio nel mondo dei Paradossi: di barbieri e di mucchi

State passeggiando per le strade vicino casa, in una bellissima giornata di sole. L’ora del tramonto si sta avvicinando; i raggi dorati del sole riscaldano il vostro viso in un caldo abbraccio.

Tra le ombre che si allungano, scorgete quella di una volpe rossa.
Curiosi, vi avvicinate.
L’animale si volta, vi guarda negli occhi e scappa per un sentiero che non avete mai visto prima.
Lo seguite senza indugio.
Uno, due, tre passi. Al quarto, come per magia tutto inizia a vorticare intorno a voi, fino a farvi perdere i sensi.

Quando riaprite gli occhi vi ritrovate in un luogo onirico, dove tutto è particolarmente spigoloso e dalle sfumature violacee.
Di fronte a voi la volpe:

“Benvenuto nella Landa dei Paradossi, straniero. Il mio nome è Verblù e sono una volpe cretese. Il mio compito sarà guidarti fino all’uscita“.

“Paradossi?” domandate ancora storditi.

Verblù ride mentre fa una piroetta.

“Qualcuno ha detto che un paradosso è una verità che poggia sulla testa per attirare l’attenzione — risponde Verblù — È una parola che viene dal greco antico, παρά δόξα: contrario all’opinione comune.
Vedi caro straniero, ce ne possono essere di diversi tipi.

1. Un’affermazione che sembra contraddittoria ma che in realtà è vera.
2. Un’affermazione che sembra vera ma che in realtà contiene una contraddizione.
3. Oppure semplicemente un’argomentazione valida o corretta che porta a conclusioni contradditorie.”

“Ah, aspetta un attimo! — esclamate — mi sembra di aver letto un articolo sul paradosso del movimento di Zenone.”

“Esatto! Quello di Zenone ricade nel secondo gruppo. In generale tutti i paradossi presentano caratteristiche comuni, come la contraddizione, l’autoreferenzialità o la circolarità.

Adesso andiamo, ti devo spiegare un po’ di cose. Ma non prendere tutte le mie parole per oro colato, c’è qualcosa che non ti ho detto sulle volpi cretesi…”

Il Paradosso del Barbiere

Dopo un po’ che state vagando insieme a Verblù per la Landa, vi imbattete in un cartello con una scritta

Un villaggio ha tra i suoi abitanti un solo barbiere. Questi è un uomo ben sbarbato che rade tutti e solo gli uomini del villaggio che non si radono da soli.
Chi è che rade il barbiere?

Vi fermate un attimo a riflettere.

Se il barbiere si radesse da solo allora non sarebbe vero che rade solo gli uomini del villaggio che non si radono da soli.

Ma se, al contrario, non si radesse, allora diventerebbe un uomo del villaggio che non si rade da solo; quindi, dovrebbe farsi radere dal barbiere del villaggio, ovvero sé stesso!

Che mal di testa!

“Questo paradosso è stato presentato dal filosofo e matematico gallese Bertrand Russell nel 1918.” vi spiega Verblù.

“In quei tempi stava studiando le fondamenta della teoria degli insiemi e si era imbattuto in una situazione similmente paradossale: l’insieme di tutti gli insiemi che non contengono sé stessi come elementi.
A livello matematico è stato un terremoto in grado di far tremare le fondamenta della Scienza esatta per eccellenza, risolto soltanto con l’adozione della teoria degli insiemi Zermelo-Fraenkel.”

“La natura paradossale si presenta perché sono presenti argomenti circolari e autoreferenziali.”

“Il problema sta nel fatto che definire qualcosa non per forza ne assicura l’esistenza.
Se parlassimo di un quadrato tondo, staremmo parlando di qualcosa che non esiste.
Analogamente, l’unico contesto in cui un barbiere ben sbarbato che rade tutti e solo gli uomini del villaggio che non si radono da soli non crea contraddizioni, è quello in cui tale barbiere non esiste.
E, a un barbiere che non esiste, non c’è bisogno di radere la barba.”

Il Paradosso del Mucchio

Ancora un po’ storditi continuate a seguire la strana volpe lungo la strana conformazione fisico-cromatica del territorio in cui vi trovate.
Giungete di fronte a un nuovo cartello.

– Se un uomo ha solo una moneta non è ricco.
– Se un uomo non è ricco, ricevendo un’altra moneta non diventerà ricco.
– Perciò a prescindere dal numero di monete ottenute, un uomo non diventerà mai ricco.

Aspetta un attimo! Questo palesemente non può essere vero! Se do un milione di denari a un uomo questi diventerà certamente ricco.

“Hai ragione straniero.” Vi risponde Verblù soddisfatto.
“Questo è un paradosso del secondo tipo, di quelli che sembrano veri ma contengono un inghippo, non tanto a livello logico, quanto a livello di definizioni.”

“Questo è uno dei paradossi più antichi del mondo occidentale e può essere fatto risalire ai filosofi della scuola di Megara (IV secolo AC).”

“L’inghippo qui è duplice: da una parte risiede nella definizione vaga e non precisa di cosa significa essere ricchi; dall’altra sull’assunzione che ripetere tante volte un gesto non significativo (donare una moneta) non può mai diventare significativo (far diventare ricchi): la somma di tante azioni piccole può diventare grande.”

Mentre discutete animatamente di queste cose, il sole tramonta dolcemente dietro l’orizzonte della Landa dei Paradossi.

La volpe cretese saluta l’arrivo della notte con una piroetta e un risolino, riprendendo il discorso con molta calma.

“Ne abbiamo fatta di strada! Riposa ora straniero, riprenderemo il nostro cammino a breve, quando uscirà la seconda parte di questo articolo su Missione Scienza”.

Fonti

Per questo articolo abbiamo attinto più che generosamente dal bellissimo libro

[1]- Nicholas Falletta, “Il libro dei Paradossi” , Longanesi & C., 2005

Lorenzo De Biase

Matematico, ricercatore e sbadato professionista.
Non chiedetegli di fare i conti al ristorante, non è capace: vi ritroverete a dover pagare quantità immaginarie ed essere costretti a lavare i piatti per qualche settimana.