La meccanica quantistica per tutti (ma proprio tutti)

LA MECCANICA QUANTISTICA PER TUTTI – Parte 2 di 3

Nello scorso articolo “quantomeccanico” abbiamo introdotto il modello atomico di Bohr, la quantizzazione delle grandezze fisiche e il “quanto d’azione”, ovvero la costante di Planck.

Ma anche il modello di Bohr può essere migliorato.

Infatti, il modello iniziale di Bohr venne ulteriormente approfondito e rifinito negli anni successivi da Sommerfeld, che introdusse la possibilità per il protone di avere orbite ellittiche e non solo circolari.

Questo, apparentemente futile, dettaglio riusciva a spiegare il comportamento degli atomi (in particolare delle loro linee spettrali di assorbimento) immersi in un campo magnetico, ma rimaneva comunque una semplice implementazione empirica allo scopo di interpretare un’evidenza sperimentale.

meccanica quantistica
Modello di Bohr-Sommerfeld in cui sono incluse anche orbite ellittiche. I due numeri (n e k) rappresentano (semplificando un sacco) i due assi dell’orbita ellittica. fonte

Sopra tutto ciò, bisogna far presente che il modello di Bohr-Sommerfeld immaginava l’elettrone, virtualmente, senza massa rispetto al protone (che era considerato fisso nello spazio) e falliva nella descrizione di sistemi atomici più complessi.

In parole povere atomi più grandi dell’idrogeno e dell’elio sono fuori dal modello.

Il che è un peccato, perché l’universo non è fatto (più) solo di idrogeno e di elio.

Anche non considerando tutte queste piccole inconsistenze, Il modello di Bohr -Sommerfeld ha una più profonda e intrinseca limitazione.

Nega il principio di indeterminazione di Heisenberg.

Heisenberg e le grandezze coniugate

Il principio d’indeterminazione di Heisenberg (enunciato nel 1927) stabilisce una limitazione nella misurazione di grandezze fisiche coniugate in un sistema.

Nell’espressione più nota e generalmente più conosciuta, queste due grandezze sono la posizione di un determinato corpo e la sua quantità di moto (ossia il prodotto fra la sua velocità e la sua massa).

Il principio definisce che il prodotto fra l’incertezza determinata sulla posizione e l’incertezza determinata sulla quantità di moto ha un valore minimo maggiore di zero.

Questo vuol dire, in parole povere, che è impossibile valutare con certezza assoluta nessuna delle due grandezze coniugate, inoltre valutare con più precisione una risulta in un aumento dell’incertezza sull’altra.

Due grandezze, detto in modo spicciolo, si dicono coniugate se la prima descrive un sistema nello spazio-tempo (ad esempio la posizione), mentre la seconda ne precisa il suo stato dinamico (ad esempio la velocità, quindi la quantità di moto).

Per capire da dove derivi questo principio di indeterminazione, e cosa voglia dire a livello pratico, dobbiamo parlare di nuovo del dualismo onda-particella.

Da De Broglie a Heisenberg

Werner Karl Heisenberg, che ricevette nel 1932 il premio Nobel per la fisica “per la creazione della meccanica quantistica”, basa la definizione del suo principio di indeterminazione sulla legge di de Broglie (premio Nobel per la fisica del 1929 per lo studio della natura ondulatoria della materia).

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Da sinistra. Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie e Werner Karl Heisenberg. Entrambi colti in disperato bisogno di un nuovo taglio di capelli.

Per capire a fondo tutto questo, dobbiamo prima capire cosa voglia dire comportarsi “come una particella” e cosa voglia dire “comportarsi come un’onda”.

Tanto per tirare le somme, una particella è un corpo materiale che esiste sempre ad una posizione specifica. Magari sarà difficile determinare quale essa sia, ma la particella si trova concentrata in una determinata posizione nello spazio.

Le onde, al contrario, non possono essere definite attraverso la loro posizione, le onde sono una “perturbazione” distribuita nello spazio e vengono definite dalla loro “lunghezza d’onda”, ovvero la distanza fra due picchi.

Nella sua ipotesi (poi verificata sperimentalmente), Luis de Broglie affermò che un qualsiasi corpo materiale possiede, intrinsecamente, natura ondulatoria e mette in relazione la quantità di moto (p) di questo corpo con un’ipotetica lunghezza d’onda (λ).

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La lunghezza d’onda di de Broglie. Non è una sorpresa che il prodotto fra la lunghezza d’onda e la quantità di moto sia proprio il quanto d’azione.

Sulle spalle dei giganti

Questa relazione si basa sulla quantizzazione già proposta da Einstein, Bohr e Planck e non stupisce, infatti, che questa lunghezza d’onda sia proprio il rapporto fra il “quanto d’azione” h (la costante di Planck) e la quantità di moto p.

Dato che la quantità di moto non è altro che il prodotto fra la velocità di un corpo e la sua massa, possiamo dedurre che oggetti macroscopici (e quindi a massa e/o velocità molto elevata) posseggono lunghezze d’onda talmente corte da non essere percepibili, se paragonate alla loro dimensione.

A livello atomico, però, le lunghezze d’onda calcolate dalla legge di de Broglie, sono rilevanti rispetto alle dimensioni ipotizzate per gli oggetti in analisi (ad esempio, elettroni e protoni).

Quindi cosa scegliamo? Onda o particella?

Forse tutte e due (o nessuna delle due)

Se consideriamo la materia come puramente particellare, possiamo determinare in maniera precisa la posizione di un elemento ma, non avendo una lunghezza d’onda, non possiamo in nessun modo avere informazioni sulla sua quantità di moto.

Al contrario, se prendiamo per buono che la materia sia solo un’onda, non avremo problemi a determinarne la quantità di moto, ma non abbiamo strumenti per definirne la posizione.

L’indeterminazione definita da Heisenberg deriva, quindi, proprio dal fatto che queste due, apparentemente contrastanti, nature della materia non sono alienabili.

Negarne o una o l’altra vuol dire perdere una lunga serie di informazioni sul sistema. Quindi perché non considerarle contemporaneamente?

Perché semplicemente non possiamo.

Secondo il principio di complementarità, enunciato da Niels Bohr nel 1927, il duplice aspetto della materia non può essere osservato contemporaneamente durante un singolo esperimento.

Il comportamento della materia è fortemente influenzato dalle condizioni sperimentali ed è auto-esclusivo. Sebbene questo dualismo sia costante, quando ci mettiamo ad osservare le cose quello che rileviamo è o ondulatorio o particellare.

Questa indeterminazione non è un risultato di una difficoltà di misurazione o semplicemente un problema di tecnica sperimentale e incertezza della misura. È un risultato della natura della materia stessa e della struttura dell’universo.

Ma quindi può esistere una descrizione della materia, a partire dagli atomi, che sopravviva a tutte queste limitazioni?

Decisamente sì.

Se il principio di indeterminazione di Heisenberg fu ufficialmente enunciato nel 1927, la soluzione a questo problema è effettivamente due anni più giovane.

Nel 1925 Erwin Schroedinger (premio nobel per la fisica 1933) formulò la sua famosa equazione, che è la colonna portante della cosiddetta “meccanica ondulatoria”.

Erwin Schroedinger e il suo bellissimo papillon. fonte

Nella meccanica ondulatoria, le particelle (elettroni, protoni etc) sono associate a funzioni d’onda, espresse in genere da una lettera greca (“psi” o “fi”), riconciliando, formalmente, il già citato dualismo apparentemente contraddittorio.

Prima di muoverci verso una comprensione più profonda del modello di Schroedinger (e sì, arriveremo anche al suo gatto), è interessante spendere due parole sull’equazione.

Meccanica ondulatoria in pillole

L’equazione di Schroedinger è un’equazione differenziale alle derivate parziali, lineare, complessa e non relativistica che ha come incognita la funzione d’onda “psi”, quadrato-integrabile e normalizzata.

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semplice no?

Tutto chiaro?

Cerchiamo di affrontare questa definizione senza farci prendere dal panico.

“Equazione differenziale alle derivate parziali”

Vuol dire in parole povere che, avendo una funzione (nel nostro caso “psi”) con molte variabili (nel nostro caso x, y,z e t, cioè spazio e tempo), questa equazione contiene sia la funzione stessa che la sua derivata, rispetto a una sola delle sue variabili.

Per chi sia totalmente a digiuno di analisi matematica e non abbia idea di cosa voglia dire “derivare”, queste equazioni sono un modo semplice per studiare l’evolversi di un fenomeno complesso rispetto a più variabili e si ritrovano spesso in fisica (un esempio per tutti, l’elettromagnetismo).

“lineare e complessa”

Per “lineare” e “complessa” si intende che nell’equazione la nostra incognita non è elevata a potenze ed è definita (a differenza delle ben note funzioni rappresentate sul piano cartesiano) invece che su un sottoinsieme dei numeri reali, su un sottoinsieme dei numeri complessi.

Come conseguenza di ciò la funzione contiene la cosiddetta “parte immaginaria”, ossia i.

Il fatto che l’equazione contenga una componente “immaginaria” non vuol dire che non sia concreta (i matematici sono davvero molto bravi a dare nomi terribili alle loro costanti), i numeri immaginari sono esattamente come tutti gli altri.

Niente di assurdo fin’ora.

“la funzione d’onda”

La funzione d’onda psi, definita nell’equazione di Schroedinger, rappresenta una particella sotto forma di funzione d’onda.

Questo porta ad una intrinseca indeterminazione, che però Schroedinger (a differenza di Bohr) riesce ad includere e, contemporaneamente, a by-passare.

Non considerando la funzione psi in sé, ma il quadrato del suo modulo, Schroedinger (e chi lo ha succeduto) inizia ad affrontare la descrizione di una particella in maniera completamente innovativa.

Si interpreta questo valore come “densità di probabilità” in funzione di spazio e tempo.

In parole povere, questo valore ci dice quanto è probabile trovare una determinata particella in un determinato volume a un determinato tempo. Niente più orbite fisse o specifiche posizioni, esclusivamente previsioni statistiche.

“quadrato-integrabile e normalizzata”

Una delle condizioni al contorno (cioè necessaria) perché una funzione possa essere una possibile soluzione è che l’integrale del suo modulo quadro in tutto lo spazio sia uguale a un numero intero (che in genere è 1, se consideriamo un implicito processo di normalizzazione).

È interessante immaginare che, se interpretiamo il modulo quadro della funzione come una distribuzione di probabilità, il fatto che il suo integrale (ossia la somma di tutte le infinitesime parti dello spazio fra la funzione e l’asse delle x) in tutto lo spazio sia 1, ha delle forti implicazioni probabilistiche, da un punto di vista puramente matematico.

Quindi, è bello immaginare che basandoci esclusivamente sul formalismo algebrico, esista una (seppure infinitesima) probabilità che uno degli elettroni che compongono la materia del vostro corpo si possa trovare per un infinitesimo di secondo a Parigi, su Saturno o al confine dell’universo stesso.

È tutta una questione di statistica.

Più di una semplice particella

Non solo l’equazione di Schroedinger riesce a studiare il moto di una singola particella, permette anche di studiare sistemi complessi.

Dato che l’equazione di Schrödinger è lineare, date due possibili funzioni relative due diverse particelle isolate, allora anche la funzione d’onda che le somma. Rappresentando il sistema delle due particelle insieme, è a sua volta una soluzione dell’equazione.

Questa linearità, che viene detta “principio di sovrapposizione”, ha numerose importanti conseguenze sulla dinamica e sulle proprietà dei corpi microscopici che obbediscono alle leggi della meccanica quantistica.

Abbiamo però volutamente evitato una delle definizioni dell’equazione.

“non relativistica”

L’equazione di Schroedinger non è relativistica.

Questo è uno dei problemi della fisica moderna, la meccanica quantistica e la relatività generale non sono, ad oggi, completamente conciliabili. Proprietà che sono spiegabili in una non appaiono nell’altra (ad esempio lo spin degli elettroni).

Esistono formulazioni relativistiche dell’equazione, che prendono il nome ovviamente da coloro che le hanno formulate.

L’equazione di Klein-Gordon fu il primo tentativo di “relativizzare” l’equazione di Schroedinger (senza considerare però lo spin).

L’equazione di Dirac estende la precedente equazione di Klein-Gordon a casi in cui lo spin viene considerato, però si incorre (senza scendere troppo nei particolari) nel problema che questa equazione ammette l’esistenza di stati energetici “negativi”.

Insomma, la grande “teoria del tutto” che spieghi da sola la natura dell’intero universo non è ancora stata formulata.

Ma come è fatto l’atomo di Schroedinger? Se le particelle possono essere virtualmente ovunque allora cosa è la struttura della materia? Quali altri premi Nobel per la fisica hanno contribuito a questa maledetta meccanica quantistica? Cosa diamine è lo spin? Il gatto è vivo o morto?

Lo scopriremo nel prossimo articolo.

Post Scriptum

Vi siete persi la prima parte? La trovate qui!

Fonti

Equazione di Schroedinger
Enciclopedia britannica – equazione di Schroedinger
Equazione di Dirac
Principio di Indeterminazione e meccanica quantistica
Ipotesi di de Broglie
Principio di Indeterminazione – approfondimento video
Il Principio di esclusione di Pauli
Meccanica quantistica ed equazione di Schroedinger
Principio di indeterminazione – approfondimento video 2
Derivare l’Equazione di Schroedinger
Principio di indeterminazione – approfondimento video 3
Cos’è il principio di indeterminazione

Luca Ricciardi

Chimico fisico dei sistemi biologici, laureato a Roma sia in triennale che in magistrale all'università "La Sapienza". Attualmente in Olanda nella ridente cittadina di Enschede per conseguire un PhD, cofinanziato da Royal Dutch Shell, riguardo la produzione di biocarburanti a partire da materiale di scarto agricolo.

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