Il Paradosso di Zenone e l’impossibilità del movimento

Immaginate di essere ad Elea nel V secolo avanti Cristo, davanti a voi c’è Zenone, uno studente della scuola di Parmenide, che cerca di convincervi con dei paradossi che quello che dice il suo mentore è vero: il movimento è solo un’illusione.

Ovviamente siete scettici sulle sue affermazioni; in fondo, come è possibile credere che il movimento non esista? Cercate di archiviare le sue parole come semplici frottole, ma c’è qualcosa nel suo tono di voce che vi spinge ad ascoltarlo e più le sue parole si riversano nel vostro cervello e più non riuscite a dare una soluzione logica a ciò che propone.

Paradosso di Zenone
Parmenide, dettaglio della “Scuola di Atene”, Raffaello Sanzo, Musei Vaticani.

“[..] L’ argomento prende il nome dell’Achille e consiste in questo: il concorrente più lento nella corsa non sarà mai raggiunto dal più veloce perché l’inseguitore prima sarebbe costretto a raggiungere il luogo da cui quello che fugge ha preso le mosse, e intanto, di necessità, il più lento sarà sempre un po’ più avanti.”
(Fisica aristotelica, Libro VI, Capitolo 9, 239b 14-20).

Prime schermaglie

Cercate di fare un po’ di chiarezza.

Achille sta facendo una gara di velocità con una tartaruga: l’eroe greco è dieci volte più veloce del rettile, che però parte con un vantaggio di un metro. Quando Achille raggiungerà il punto di partenza della tartaruga, questa avrà percorso dieci centimetri. Mentre Achille avrà percorso questi dieci centimetri, la tartaruga avrà percorso un altro centimetro e così via all’infinito.

Zenone, sorridendo davanti ai vostri occhi increduli, dice che, siccome Achille avrà segmenti infiniti da coprire, non raggiungerà mai la tartaruga.

Storditi da tutto questo, vi sedete per raccogliere le idee e fare mente locale ragionando a voce alta: supponiamo che Achille percorra il primo tragitto in un secondo

“Sei proprio sicuro che Achille riesca anche solo a percorrere il primo tragitto?” vi interrompe beffardo Zenone.

“Dopotutto per farlo dovrebbe prima percorrerne metà, dopodiché dovrebbe raggiungere la metà del mezzo metro rimanente. Ed indovina un po’? Dopo averlo fatto dovrebbe prima percorrere la metà di quello che resta, andando avanti così all’infinito e costringendolo ad un’eternità di immobilismo dettato dal dover percorrere un’infinità di spazi.”

Vi sentite confusi, non sapete cosa pensare.

È possibile che la nostra idea di movimento sia così fragile? Stiamo sbagliando tutto? Eppure se Achille è più veloce della tartaruga, prima o poi dovrà raggiungerla, no? E di sicuro sarà in grado di percorrere un metro in un secondo.

Però questi ragionamenti paradossali di Zenone sembrano inattaccabili…

Paradosso di Zenone
Achille e Aiace giocano ai dadi, anfora a figure nere, Musei Vaticani.
La riscossa del moto

Improvvisamente, avete l’illuminazione: è vero che Achille dovrà percorrere segmenti infiniti, ma, forse, la somma infinita di quantità che diventano man mano più piccole può non essere infinita.

In effetti, iniziando a sommare i termini 1 + 1/10 + 1/100 + … vi rendete conto che gli addendi diminuiscono in modo tale che il loro contributo diventi sempre più trascurabile ai fini della somma totale.

Vi siete imbattuti in quella che i matematici chiamano una serie geometrica, la cui somma è finita nel caso in cui il rapporto tra la velocità della tartaruga e quella del prode Achille sia inferiore ad uno, cioè esattamente nel caso in cui Achille sia più veloce della tartaruga.

Lo stesso ragionamento si può applicare al tempo che Achille impiegherà a percorrere il primo metro: mezzo secondo per il primo mezzo metro, un quarto di secondo per il successivo quarto di metro e così via. Sommando questi tempi, si genera la serie geometrica (1/2+1/4+1/8+1/16 +. . . ), la cui somma non solo è finita, ma è esattamente uno! Non importa che siano infiniti i tragitti da attraversare, il nostro caro Achille impiegherà esattamente un secondo ad attraversarli tutti ed a percorrere il fatidico metro.

Con un gesto trionfante vi allontanate soddisfatti dal povero Zenone, consapevoli di aver salvato l’idea stessa di movimento ed apprezzando con un’insolita euforia ogni singolo metro percorso sulla vostra strada.

Lorenzo De Biase

Matematico, ha concluso da poco un dottorato in UK in Geometria Algebrica. Non chiedetegli di fare i conti al ristorante, non è capace: vi ritroverete a dover pagare quantità immaginarie ed essere costretti a lavare i piatti per qualche settimana.

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