L’arte di contare: parte seconda

Nella prima parte sull’arte di contare (che trovate a questo link) abbiamo scoperto che la quantità di elementi di un insieme prende il nome di “cardinalità” e che per confrontare cardinalità diverse non sempre abbiamo bisogno di numeri.

Ad esempio, abbiamo visto che se riusciamo ad associare gli elementi di un insieme A (un gregge di pecore) a quelli di un insieme B (i ciottoli nel sacchetto del pastore) in maniera iniettiva, allora possiamo concludere che l’insieme A non possiede più elementi dell’insieme B.

Ma cosa accadrebbe in un mondo con infinite pecore? Riuscirebbero i pastori ancora a contare il proprio gregge? È possibile che, anche se infiniti, alcuni greggi siano più numerosi di altri?

Verso l’infinito e oltre

“Ci sono più cose in cielo e in terra, Orazio, di quante tu ne possa sognare nella tua filosofia” dice Amleto al suo amico nel primo atto dell’omonima tragedia Shakespeariana.
Al contrario, nel mondo matematico, riusciamo a creare insiemi molto più popolosi di tutti gli atomi che compongono l’Universo.

Per farlo possiamo partire da un insieme vuoto e proseguire ricorsivamente, aggiungendo in maniera astratta a ogni passo una pecorella e continuando nel nostro compito per un tempo indefinito.

In altre parole, abbiamo costruito i numeri interi naturali (ovini), basando la nostra costruzione sul fatto che preso un numero intero possiamo sempre trovare il successivo, semplicemente sommando 1.

Possiamo quindi scoprire la cardinalità dei numeri naturali? Come facciamo a contare fino all’infinito?

Partiamo da una semplice osservazione.
Prendiamo un gregge di pecore e associamo a ogni ovino un numero via via crescente (esattamente quello che faremmo contandole). Stiamo assegnando quindi all’ultima pecora il numero che indica la cardinalità del gregge.

Riflettendo meglio sulle nostre azioni, abbiamo associato a ogni pecora un numero intero positivo, in modo tale che due pecore diverse non vengano associate allo stesso numero.
Ovvero, abbiamo costruito una funzione iniettiva dal nostro gregge di pecore ai numeri naturali.

Dal momento che il ragionamento precedente si può applicare a un gregge di pecore arbitrariamente grande, possiamo caratterizzare la quantità dell’insieme dei numeri naturali così:
la cardinalità dei numeri naturali (chiamata numerabile) è quella che è più grande di qualsiasi cardinalità di insieme finito.

Il mio infinito è più grande del tuo

Il nostro futuro da pastori appare sempre più roseo!
Ora siamo in grado di contare greggi infiniti, sapendo che la loro cardinalità è numerabile!

Elettrizzati dalle opportunità di carriera che si aprono davanti ai vostri occhi, lasciate andare i vostri pensieri a briglia sciolta su praterie di riflessioni fino a giungere alla fatidica domanda:

“Tutti i greggi di infinite pecore sono grandi allo stesso modo?”

Pensiamo ai numeri pari, sono infiniti perché possiamo sempre trovarne uno più grande, ma come facciamo a essere sicuri che siano una cardinalità numerabile?
Basta associarli in maniera iniettiva ai numeri naturali: per ogni numero pari, basta associare l’intero che si ottiene dividendolo per due.
In questo modo sappiamo che hanno né più né meno la cardinalità del numerabile.

Anche per le frazioni, che a sensazione sembrerebbero molto più numerose dei numeri interi, è possibile associarli in maniera iniettiva tramite un procedimento noto come “diagonale di Cantor”.

 

 

Tutti gli infiniti sono della stessa cardinalità quindi?

No, e un esempio ci viene fornito dai Numeri Reali, ovvero da tutti i numeri con espressione decimale di qualsiasi lunghezza. È possibile dimostrare che la loro cardinalità è più che numerabile. Sono quindi così tanti da essere di un’infinità ancora più grande dei naturali!

Ma perché fermarsi qui?

Possiamo continuare a pensare a greggi di pecore infinitamente più grandi dell’infinitamente più grande del numerabile e continuare a farlo in maniera infinita.

Persi a contare infinità di infinità di pecore, possiamo lasciarci alle spalle i nostri problemi di tutti giorni, che al confronto diventano sempre più piccoli e lontani. E vagando circondati da tanta lana, l’unico rischio è quello di cadere tra le braccia di Morfeo.