L’arte di contare: parte prima

Impariamo a contare da quando siamo piccoli e ci sembra la cosa più naturale del mondo. Lo facciamo ormai senza pensarci, è qualcosa di automatico.

Ma cosa significa contare? Su cosa si basa il nostro modo di rispondere alla domanda: “quanti?”

Il primo pensiero ci spingerebbe a credere che “contare” sia univocamente collegato all’idea di “numero”. Ma per quanto le due nozioni siano strettamente collegate, non è necessario giungere all’astrazione di “numero” per riuscire a determinare se una quantità di oggetti coincide con un’altra.

 

Matematica primordiale

 

Come scrive Bertrand Russell nella sua Introduzione alla filosofia matematica:
“È più semplice cercare se due insiemi hanno lo stesso numero di termini che indicare quale sia questo numero”.

Per rendere più chiaro questo concetto, il filosofo e matematico gallese fornisce due esempi.

Nel primo, ci fa catapultare in un villaggio di una tribù immaginaria in cui ogni donna adulta ha come unico e solo compagno un uomo della tribù (e viceversa).
A prescindere da qualsiasi ragionamento o riflessione di carattere sociale, potremmo tranquillamente dedurre che la quantità di donne adulte è la stessa di quella degli uomini adulti.

Per arrivare a tale deduzione abbiamo avuto bisogno di conoscere il numero di abitanti?
No, il villaggio avrebbe potuto avere una manciata di abitanti come milioni, non influirebbe minimamente sul nostro ragionamento.

Per secondo esempio, immaginiamo di essere in compagnia di un vecchio pastore che ogni giorno porta al pascolo il suo gregge nelle praterie.
Ogni singola pecora è di un valore inestimabile per il sostentamento del pastore ed è quindi sua grande premura assicurarsi che alla sera tutti i suoi preziosi animali ritornino nel recinto.
Se il pastore non sapesse cosa significhi “numero”, come potrebbe assicurarsi che nessun elemento del gregge si perda?

La saggezza bucolica farebbe impallidire qualsiasi scienziato per la sua pragmaticità: basterà avere un sacchetto con dei sassi, in modo che la quantità di pietre coincida con quella del gregge.
Alla sera, al pastore basterà rimettere nel sacchetto una pietra ogni volta che un ovino entra dentro il recinto, se al termine del processo avrà terminato i sassi in mano, allora non avrà nulla da temere.
Altrimenti significa che la quantità di pecore rientrata è inferiore a quella partita la mattina e bisogna andare a salvare le pecorelle smarrite.

 

Bertrand Russell
Cardinalità

 

In Matematica, la quantità di elementi di un insieme è chiamata “cardinalità”. Per ogni insieme finito, la cardinalità di quell’insieme è il numero degli elementi che lo compongono.

Confrontare cardinalità di insiemi diversi, ci restituisce quindi un confronto tra le rispettive quantità; ma come nei caso della tribù o del pastore, non è essenziale conoscerne l’entità numerica per fare delle considerazioni.

Supponiamo di avere due insiemi: il primo, denominato A, è l’insieme dei sassi nel sacchetto, il secondo, denominato B, è l’insieme delle pecore nel recinto.
Seguendo la saggezza del vecchio pastore, associamo ad ogni sasso dell’insieme A una pecora dell’insieme B, in modo tale che due sassi non vengano associati alla stessa pecora.

Quello che abbiamo costruito è quello che i matematici chiamano una “funzione iniettiva”: questa funzione, svolge proprio il ruolo auspicato dal pastore, determinare che la cardinalità dell’insieme A è uguale o inferiore a quella dell’insieme B.

Nel caso del villaggio della tribù, l’associazione delle coppie fornisce sia una funzione iniettiva dall’insieme delle donne adulte a quello degli uomini adulti, che, viceversa, una funzione iniettiva dall’insieme degli uomini adulti a quello delle donne adulte.

Visto che ognuno dei due insiemi deve avere una quantità di elementi minore o uguale a quella dell’altro, possiamo concludere che abbiano la stessa cardinalità.
Congratulazioni! Quello che abbiamo appena scoperto è un esempio dell’importante Teorema di Cantor-Bernstein-Schröder!

 

Le Berger (The Shepherd) – Julien Dupre
Contare all’infinito

 

Ora che abbiamo una migliore comprensione su cosa significhi “contare”, è il momento delle domande.

Perché è molto utile e comodo contare quantità finite, ma cosa succede se spingiamo il nostro intelletto fino al limite?
Cosa succede se iniziamo a contare insiemi infiniti?
Quello che abbiamo detto finora continua a valere?
Oppure verremo schiacciati dalla mestosa grandezza del non finito?

Per rispondere a queste e ad altre domande, dovrete aspettare la seconda parte, sempre qui, su Missione Scienza.

Lorenzo De Biase

Matematico, ha concluso da poco un dottorato in UK in Geometria Algebrica. Non chiedetegli di fare i conti al ristorante, non è capace: vi ritroverete a dover pagare quantità immaginarie ed essere costretti a lavare i piatti per qualche settimana.

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