La radice numerica: divisibilità, checksum e tarocchi

Quando si parla di radice numerica (o radice digitale) si intende, fondamentalmente, un concetto molto semplice.

La somma di tutte le cifre di un numero intero, che viene reiterata fino ad ottenere un valore compreso tra 0 e 9 (valore monocifra).

Un rapido esempio si può fare prendendo il numero 137, la cui radice numerica è 2. Infatti si ha 1+3+7=11, da cui 1+1=2.

Questo strumento, nonostante si basi su operazioni elementari, ha un potere applicativo enorme.

Oggi faremo un paio di esempi, alcuni sicuramente già noti a qualcuno altri (forse) più di nicchia.

Se resisterete a qualche riga di matematica, alla fine dell’articolo impareremo a calcolare i nostri tarocchi di nascita sfruttando i principi della somma delle cifre e della radice numerica.

La matematica è uno strumento estremamente potente che, se ben usato, può sembrare anche magia. (fonte)

I criteri di divisibilità, la radice numerica come strumento di indagine

Torniamo momentaneamente alle scuole medie.

Siamo appena tornati a casa da scuola e stiamo guardando la ventesima replica di Dragon Ball Z in televisione. In un momento di lucidità, mentre Goku sta malmenando qualcuno, ricordiamo di dover fare i compiti di matematica.

Apriamo malvolentieri il libro e leggiamo il testo dell’esercizio assegnato.

“Determina quali tra i seguenti numeri sono divisibili per tre”

Facile, se conosciamo il criterio. Ma qual è?

Un numero intero è divisibile per tre se la somma delle sue cifre è pari a tre, o ad un multiplo monocifra di tre.

Vi ricorda qualcosa? Ebbene sì, c’entra la radice numerica. Riformuliamo l’enunciato.

Un numero intero è divisibile per tre se la sua radice numerica è tre, o un multiplo monocifra di tre.

E fin qui ci siamo.

Ma come si dimostra?

Per dare una dimostrazione di questo criterio è necessario fare riferimento a qualche concetto di aritmetica modulare.

La dimostrazione del criterio di divisibilità, il modulo

Quando si parla di aritmetica modulare si parla anche di aritmetica ciclica. Per farla molto semplice, si fa una classificazione dei numeri interi in modo da rappresentarli con un insieme finito.

Tutti quanti sappiamo che le divisioni possono avere un resto. Bene, tramite le classi di resto è possibile rappresentare tutti i numeri in base al resto r. Nel nostro caso, parliamo di modulo 3.

Tutti i numeri potranno essere rappresentati dall’insieme {0,1,2}, ossia i numeri con resto rispettivamente zero (i multipli di tre), uno e due.

Quando si parla di aritmetica modulare può capitare di sentire anche “aritmetica dell’orologio”. L’immagine, molto esplicativa, rappresenta la ciclicità dell’insieme modulo 3. Vai sul sito per giocare con un programma di GeoGebra molto carino.

Passiamo alla dimostrazione.

Si consideri un numero N, qualsiasi intero, in base alle sue k cifre decimali:

N = a0+a1*10+a2*100+ … + ak*10k

A questo punto si può passare all’aritmetica modulare, valutando i coefficienti, e stabiliamo l’ipotesi che:

a0+a1+a2+ … + ak = 0 (mod 3)

Abbiamo stabilito che la somma delle cifre del numero N è zero modulo tre, ossia è divisibile.

Quindi:

a0 = -(a1+a2+ … + ak) (mod 3)

Ritornando ad N, otteniamo che:

N = -(a1+a2+ … + ak)+a1*10+a2*100+ … + ak*10k = 9*a1+99*a2+ … + (10k-1)*ak = 0 (mod 3)

In definitiva tutti i coefficienti sono moltiplicati per multipli di 9, il che significa che il numero è sicuramente divisibile per tre.

La somma di controllo, la radice numerica utilizzata come strumento di verifica

Avere uno strumento che ci aiuti a capire se abbiamo fatto tutto correttamente è fondamentale, soprattutto se si lavora in campi dove l’errore è comune e incontrollabile.

Prendiamo ad esempio le comunicazioni digitali, che si basano sul sistema numerico binario.

La trasmissione di segnali elettronici a distanza è un processo che coinvolge una molteplicità di soggetti (mittenti, destinatari e canali).

La teoria dell’informazione è la disciplina che si occupa dell’elaborazione su base matematica di tutti i principi che riguardano le telecomunicazioni (teoria delle sorgenti, teoria dei codici e studio dell’entropia).

Senza entrare troppo nel dettaglio (che non è utile ai sensi di quello di cui vogliamo parlare), possiamo dire che l’informazione che vogliamo trasferire al destinatario deve essere “tradotta” in linguaggio matematico e memorizzata in un pacchetto per essere spedita nella rete.

Questo messaggio è, tipicamente, una sequenza di bit. Ma chi ci garantisce che la sequenza di arrivo sia uguale alla sequenza di partenza?

La somma di controllo (o checksum) è uno strumento, che usa i principi della radice numerica, che ci aiuta a verificare che non ci siano stati errori durante la trasmissione.

Nella sua forma più semplice, il checksum consiste nel fare la somma di tutti i bit del messaggio. Il valore ottenuto viene salvato nel pacchetto e trasmesso con il messaggio.

Per controllare l’integrità del messaggio ricevuto basterà effettuare nuovamente l’operazione di somma e confrontarla con il valore memorizzato.

Esistono, chiaramente, varie tipologie come lo LRC (Longitudinal Redundancy Check) o l’Internet Checksum.

Radice numerica astrale, il calcolo degli arcani

Sommare cifre non è una attività particolarmente difficile. Le regole sono poche, i calcoli sono semplici.

È, tuttavia, da considerare che una persona estremamente poco istruita potrebbe essere impressionata da tutti questi numeri, dalle infinite possibilità di mescolare cifre fino ad ottenere numeri semplici e magari simbolici.

Molte attività cosiddette “spirituali” fanno capo ad algoritmi di radice numerica (o comunque molto simili) per ottenere validità e credibilità.

Facciamo l’esempio dei tarocchi. Ogni persona ha una data di nascita no? Vi siete mai chiesti se la vostra data di nascita è connessa magicamente ad uno dei 21 arcani maggiori?

Impariamo a calcolare i nostri Arcani di Nascita.

Prendiamo una data di nascita casuale, il compleanno di Galileo Ferraris, 31/10/1847.

A questo punto facciamo una somma delle cifre “due a due”, 31+10+18+47=106.

Dopodiché, sommiamo 10+6=16 e otteniamo che la prima carta da considerare è la Torre (XVI).

Infine, applichiamo il criterio di radice numerica 1+6=7 per arrivare alla seconda carta ossia il Carro (VII).

Seguendo questo metodo avremo come risultato sempre undici coppie prestabilite, e un caso particolare che vedrà tre carte invece di due.

Praticamente una specie di oroscopo delle carte (coincicredo? io non denze).

Considerazioni e ovvie conclusioni

È interessante osservare come una regola basilare della matematica, imparata tra i banchi delle medie (forse anche elementari), possa farci viaggiare in direzioni estremamente diverse tra di loro.

Aritmetica modulare, teoria dell’informazione e informatica, fino ad arrivare ad arcanismo e astrologia.

Tutto ciò ci insegna due cose:

  • la scienza si annida ovunque
  • più andiamo indietro nel tempo, più è difficile tracciare la linea che separea scienza e magia

Inoltre, non so voi, io riesco ad immaginare un matematico (forse neanche troppo bravo) che arringa una folla di persone curiose ed influenzabili semplicemente facendo acrobazie matematiche con la loro data di nascita.

“Lei è nata sotto il segno del Sole, grande fortuna grande fortuna!! Oh no signore, lei è nato sotto il segno del Diavolo, aspetti che per qualche moneta le levo il malocchio”.

Geniale.

Fonti

Radice numerica (Wikipedia)

Criteri di divisibilità (Wikipedia)

“Reti a commutazione di pacchetto” – Onelio Bertazioli, Marco Paganini

Teoria dell’informazione (Wikipedia)

Aritmetica modulare (Wikipedia)

Aritmetica modulare (GeoGebra)

Calcolo dei tarocchi (Tarotschool) [NdA. da prendere con le pinze]

Arcani Maggiori (Wikipedia)

 

Matteo Ricciardi

Ingegnere Elettrico, specializzato nella regolazione della tensione tramite compensazione reattiva e nella trasmissione di energia elettrica tramite collegamenti HVDC. Duca di Nolan (KtS)

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