La meccanica quantistica per tutti (ma proprio tutti)

LA MECCANICA QUANTISTICA PER TUTTI – Parte 3 di 3

Nello scorso articolo riguardo la meccanica quantistica abbiamo esplorato i limiti del modello di Bohr-Sommerfeld, abbiamo parlato del principio di indeterminazione di Heisenberg, dell’equazione di Schroedinger, con la sua interpretazione fisica e matematica, dei suoi limiti (più o meno estesi) e dei suoi punti forti.

Se vi siete persi le puntate precedenti, ecco a voi:

La meccanica quantistica per tutti – Parte 1
La meccanica quantistica per tutti – Parte 2

Sembra che sia arrivato il momento di parlare di cose un po’ più “serie”.

Che aspetto ha un “atomo di Schroedinger”?

Partiamo da quello che già sappiamo sugli atomi.

Grazie agli studi di Dalton, Thomson, Rutherford e altri, sappiamo per certo che l’atomo è una struttura di un elemento chimico con proprietà distinte, è costituito da particelle, cariche e non (elettroni, neutroni e protoni), disposte nello spazio in maniera non caotica.

I neutroni e i protoni sono concentrati in un nucleo carico positivamente e gli elettroni sono particelle mobili che “orbitano” attorno al nucleo.

meccanica quantistica
Probabilmente quando pensiamo a un atomo al 90% di noi viene in mente questa semplificazione.

Ora, Bohr e altri eminenti suoi successori implementarono la “quantizzazione” nel modello atomico immaginando orbite stabili, circolari e non, per gli elettroni intorno ad un nucleo carico positivamente (come abbiamo osservato nella prima parte di questo viaggio).

Questo, però, infrangerebbe il principio di indeterminazione di Heisenberg. Per risolvere questo impasse è stato necessario passare alla definizione di funzioni d’onda che descrivessero le particelle (come abbiamo introdotto nella seconda parte).

Le particolari funzioni d’onda che descrivono gli elettroni di un atomo vengono definite “orbitali atomici“.

Orbitali e non semplici orbite

Queste funzioni d’onda non hanno un vero e proprio significato fisico (in quanto come abbiamo già detto non è possibile determinare in maniera univoca posizione e velocità dell’elettrone), ma il loro modulo quadro può essere interpretato come una densità di probabilità.

Gli orbitali atomici generalizzano il concetto di orbita a  qualcosa di non limitato da specifici confini e diffuso nello spazio.

Per favorirne la visualizzazione, si considera, per ogni funzione, la regione di spazio attorno al nucleo in cui la probabilità di “trovare” l’elettrone è maggiore del 95%. Questo limite è assolutamente convenzionale ed è usato per rappresentare graficamente un orbitale atomico.

meccanica quantistica
Rappresentazione grafica degli orbitali atomici. Tutto chiaro no?

Da dove tiriamo fuori questi orbitali?

Queste funzioni sono soluzioni dell’equazione di Schroedinger.

In parole povere, se abbiamo un’equazione come x – 2 = 0 , sappiamo che la soluzione è -2. Se invece l’equazione è di tipo parametrico, ossia qualcosa come x – n = 0 (dove n è parte dei numeri naturali), allora sappiamo che la soluzione è x = n.

Quello che avviene con l’equazione di Schroedinger è pressappoco la stessa cosa.

(Il rumore in sottofondo che sentite sono tutti i fisici vincitori di premi Nobel che si contorcono nella tomba).

Queste funzioni orbitali, quindi, contengono parametri. Il variare di questi parametri influenza la forma e la complessità della struttura.

Ma cosa sono questi parametri? Cosa rappresentano?

I numeri quantici

Ognuna di queste funzioni orbitali è definita in maniera univoca da quattro numeri (quantici).

I numeri quantici rappresentano il valore di una qualità di un sistema dinamico che viene conservata. Nel nostro caso, ci aiutano a descrivere il sistema “complesso” quale è l’atomo. Sono, infatti, associati alle grandezze che erano già state quantizzate nel modello di Bohr (con una piccola ma fondamentale eccezione).

n, il numero quantico principale

“n” è legato la distanza media degli elettroni dal nucleo e la loro energia.

Orbitali atomici con lo stesso numero quantico principale costituiscono un “livello energetico”. Teoricamente, n (che è sempre un numero intero positivo) può andare da 1 a infinito, già con limite n = 7, però, possono essere descritti tutti gli elementi della tavola periodica attualmente conosciuti.

l, il numero quantico orbitale

“l” è legato al momento angolare orbitale.

Anche in questo caso si tratta di numeri interi positivi, ma in ogni livello energetico possono essere definite funzioni orbitali atomiche con numeri quantici orbitali che vanno da 0 a n-1.

Questo vuol dire che se n = 1 allora nel primo livello energetico potrà esserci una sola funzione orbitale con l = 0, ma se n = 2 avremo una funzione con l = 0 e un gruppo di funzioni con l = 1.

I numeri quantici orbitali definiscono la “forma” dell’orbitale atomico, quando l = 0 l’orbitale ha una simmetria sferica (si parla di orbitali di classe s, che però deriva da “sharp” e non da “spherical”). Se l = 1 allora la simmetria è assiale e la forma è a grandi linee quella di una clessidra (si parla di orbitali di classe p, da “principal”).

m, il numero quantico magnetico

Se l = 1 si parla di gruppo di funzioni perché una volta definiti n e l, possiamo definire il “numero quantico magnetico”. Il numero quantico magnetico “m” definisce (in un sistema di assi x, y e z) la componente del momento angolare orbitale sull’asse z (in parole povere, descrive la distribuzione spaziale della funzione orbitale).

Definito come un numero intero, può assumere tutti i valori fra -l e l. Quindi se n = 1 e l = 1, m può essere -1, 0 e 1.

Nei primi due livelli energetici abbiamo quindi determinato l’esistenza di ben 5 funzioni d’onda che possono essere definite relativamente ai loro numeri quantici (n, l, m). Nel primo livello abbiamo (1, 0, 0) ossia 1s, nel secondo livello abbiamo (2, 0, 0), (2, 1, -1), (2, 1, 0) e (2, 1, 1) ossia 2s, 2py, 2pz e 2px.

meccanica quantistica
Gli orbitali p (numero quantico l = 1 e numero quantico m = -1, 0 e 1.

Il grande escluso, lo spin

L’ultimo dei numeri quantici, il più bizzarro di tutti, il “numero quantico di spin” (s).

Lo spin è una cosa difficile da spiegare.

Lo è perché non esiste una proprietà analoga nella fisica classica, in genere viene definito come un “momento angolare intrinseco”, immaginando una particella (come l’elettrone) che gira come una trottola in un senso o nell’altro.

È chiaramente molto più complicato di così.

Per tutte le particelle possiamo avere due casi limite, s è un numero intero, nel qual caso di parla di “bosoni” e che s sia un numero frazionario, nel qual caso si parla di “fermioni“.

Per il caso in esame,  gli elettroni sono fermioni e hanno s che può essere 1/2 o -1/2.

Un quartetto di numeri quantici

Eccoci qui.

Abbiamo, dunque, definito i quattro numeri che permettono di descrivere gli orbitali atomici come (n, l, m, s), questo quartetto di numeri è detto “stato quantico“.

Ma ricordate quando abbiamo detto che avremmo spiegato perché esiste la regola dell’ottetto?

Per questo dobbiamo scomodare Wolfgang Pauli (premio Nobel per la fisica 1945) e il suo principio di esclusione.

Il principio di esclusione di Pauli

Il principio di esclusione di Pauli afferma che due fermioni identici (ad esempio due elettroni) non possono occupare simultaneamente lo stesso stato quantico.

Questo ha importanti ripercussioni sulla determinazione della struttura dell’atomo.

Immaginiamo un atomo di un gas nobile, ad esempio l’elio.

Immaginiamo, quindi, il primo livello energetico, quanti stati quantici contiene?

Avremmo due stati quantici, (1, 0, 0, 1/2) e (1, 0, 0, -1/2).

Beh è perfetto! L’elio ha solo due elettroni, il livello energetico è pieno!

Passiamo a qualcosa di più complesso, il neon.

Per il neon abbiamo più di due elettroni, quindi dovremo passare al livello energetico successivo.

Oltre al primo livello energetico, già citato per l’elio, che contiene 2 stati quantici, nel secondo livello energetico avremo ben otto stati quantici totali!

Quindi due elettroni nel primo livello, otto nel secondo, di nuovo perfetto! Il neon ha esattamente dieci elettroni!

Questo discorso può essere esteso a tutti i seguenti livelli energetici, la regola dell’ottetto è una regola empirica applicabile ad atomi relativamente piccoli che pone le sue basi nel fatto che nel secondo livello energetico sono disponibili otto stati quantici differenti.

Ok, ma quindi il gatto di Schroedinger?

A seguito di questo viaggio che ci ha portato dall’atomo di Bohr fino alle distribuzioni di probabilità, è arrivato il momento di parlare della star della quantomeccanica main stream.

Quando, nel prossimo episodio!

Fonti

I numeri quantici

Orbitali atomici

Esclusione di Pauli

Approfondimento video -meccanica quantistica

Approfondimento video- meccanica quantistica

gli orbitali atomici

Luca Ricciardi

Chimico fisico dei sistemi biologici, laureato a Roma sia in triennale che in magistrale all'università "La Sapienza". Attualmente in Olanda nella ridente cittadina di Enschede per conseguire un PhD, cofinanziato da Royal Dutch Shell, riguardo la produzione di biocarburanti a partire da materiale di scarto agricolo.

One thought on “La meccanica quantistica per tutti (ma proprio tutti)

  • 18 Settembre 2020 in 15:01
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    ho studiato fisica poi ho smesso….vorrei riprendere ma on line

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