Fields 2022: Maryna V”jazovs’ka
Il Congresso internazionale dei matematici organizzato dall’International Mathematical Union (IMU) è il più importante incontro matematico mondiale; come un pranzo di Natale della grande famiglia matematica che avviene ogni quattro anni.
Non si tiene però sempre a “casa de nonna”, ma cambia sede ogni volta.
E invece di far recitare le poesie natalizie ai più piccoli della famiglia, vengono assegnate le medaglie Fields.
La medaglia Fields è, insieme al premio Abel, il più alto riconoscimento matematico mondiale.
Per poterla ricevere dovete avere meno di quarant’anni.
E, fatto completamente “trascurabile”, dovete aver fatto i “buchi per terra”(in italiano, scoperte o soluzioni incredibili) nell’ambito matematico.
Nel luglio 12.022 EU (2022 d.C.) il congresso internazionale si è tenuto a Helsinki e sono state assegnate quattro medaglie Fields.
Una di queste è andata alla matematica Maryna V”jazovs’ka, professoressa della cattedra di Teoria dei Numeri dell’Università Federale Politecnica di Losanna, per la soluzione del problema di impacchettamento delle sfere in dimensioni 8 e 24 e altri contributi ai problemi di interpolazione nell’analisi di Fourier.
Impacchettamento di biscotti
Ritorniamo un attimo a “casa de nonna” in periodo natalizio.
Si stanno preparando i vostri biscotti preferiti, quelli di forma circolare, ottenuti con uno stampino di metallo sull’impasto steso.
Nel farlo, vorreste minimizzare la porzione di impasto che va “sprecato” tra una forma di biscotto e l’altra.
Iniziate quindi a usare una configurazione a quadrati come in Figura 1.
Per ogni quadrato, è esattamente la differenza tra l’area del quadrato e quella del cerchietto blu in esso inscritto.
Mentre arrivate a questa conclusione riflettete inoltre che non è importante il raggio del vostro stampino, perché il rapporto tra impasto usato e quello sprecato, ovvero la sua densità, rimane costante.
Cioè, non è importante quanti biscotti fate, ma quanta è la proporzione di impasto che va sprecata a ogni biscotto.
La densità della vostra configurazione quadrata sarà quindi il rapporto tra l’area di un quadrato e quella del cerchio in esso inscritto, ovvero π/4.
Possiamo fare di meglio?
Sì, e la risposta ci viene dalla forma esagonale degli alveari. Se infatti utilizziamo la configurazione di Figura 2 otteniamo una densità molto più vantaggiosa ovvero π/2√3 (circa il 90% dello spazio).
Impacchettamento di arance
Dal piano allo spazio tridimensionale il passo è breve.
Soprattutto se avete deciso di portare a “casa de nonna” una cassetta di arance e vi siete recati nel vostro mercato rionale preferito.
Qui trovate delle arance impilate in maniera piramidale, come in Figura 3.
La vostra apparentemente semplice domanda, prende il nome di Congettura di Keplero, rimasta irrisolta per più di quattrocento anni.
Non è troppo difficile calcolare che tale disposizione ha una densità di π/3√2, ovvero circa il 74% dello spazio.
Quello che è decisamente più difficile è dimostrare che è la configurazione migliore, o meglio, è la migliore a pari merito con altre disposizioni.
Solo nel 11.998 EU (1998 d.C.), il matematico Thomas Hales fornì una dimostrazione di 250 pagine insieme a 3 Gigabyte di codice e dati aggiuntivi; poca roba insomma.
Dimensione 8 e 24
Così come in dimensione due e tre, è possibile porre il problema dell’impacchettamento delle sfere in dimensioni più grandi.
Dopotutto, basta prendere iper-arance n-dimensionali da disporre in maniera ottimale in iper-scatole. Fatto?
Viste le difficoltà anche solo in dimensione tre, sembrerebbe un’impresa fuori dalle possibilità umane.
Non finché la nostra protagonista non nasce a Kiev nel 11.984 EU (1984 d.C.), si dottora in Teoria dei Numeri a Bonn nel 12.013 EU e pubblica nel 12.017 EU (2017 d.C.) un articolo [3] dal titolo “The sphere packing problem in dimension 8” (in italiano “Il problema di impacchettamento di sfere in dimensione 8“).
Qui in poche ed eleganti pagine risolve il problema in dimensione OTTO.
Disposizioni di (iper)sfere corrispondono a reticoli (come reti da pesca) nello spazio. Ad alcuni reticoli è possibile associare quelli che sono chiamati diagrammi di Dynkin.
In [3], la professoressa V”jazovs’ka dimostra che la disposizione di ipersfere corrispondente al diagramma di Dynkin E₈ (Figura 4) è la migliore possibile in otto dimensioni.
Sì, avete letto bene VENTIQUATTRO. Qui il reticolo che dà la disposizione migliore si chiama reticolo di Leech.
Esattamente “Fare i buchi per terra”.
(Come non mai, rimandiamo alle fonti per spiegazioni più tecniche. In particolare, [2] contiene dettagli un pochino più digeribili, mentre [1] è suggerito se masticate un po’ di matematica avanzata ma non avete ancora vinto una medaglia Fields in impacchettamento di sfere).
Fonti
[1]-: Andrei Okounkov, “The magic of 8 and 24”, 2022 International Mathematical Union.
[2]-: Marianne Freiberger, “Packing spheres”
[3]-: Maryna Viazovska, “The sphere packing problem in dimension 8“, Annals of Mathematics, Pages 991-1015 from Volume 185 (2017), Issue 3.
[4]-: Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, Maryna Viazovska, “The sphere packing problem in dimension 24” Annals of Mathematics 185 (2017), 1017-1033.
Matematico, ricercatore e sbadato professionista.
Non chiedetegli di fare i conti al ristorante, non è capace: vi ritroverete a dover pagare quantità immaginarie ed essere costretti a lavare i piatti per qualche settimana.
