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Brulicante Matematica Greca

Partiamo con un riassunto delle puntate precedenti, i cui link trovate a fine articolo.

 

Siete in volo con destinazione Atene.

A fianco a voi c’è il vostro amico fidato e famosissimo archeologo Montana Jones.

Perché vi trovate dove vi trovate?

Siete alla ricerca dell’Arciartefatto Matematicense, rubato da poco alla confraternita dei Topoi

La confraternita ha il compito di conservare l’Arciartefatto, l’oggetto mistico che sostiene la coerenza della Matematica.

Temete di non essere all’altezza del gravoso compito che vi è stato assegnato dal decano della confraternita e confidate in maniera assoluta nell’esperienza di Montana.

Giunti nella capitale greca, il vostro compagno di avventura dice che si dovrà assentare per una commissione importante:

“Ci vediamo tra un’ora esatta alla libreria Rafi, proprio in centro!” vi dice con un sorriso mentre si allontana di fretta.

Poco dopo, giunti in libreria vi mettete a scorrere i libri in vendita in attesa di Montana.

Ne trovate uno scritto nella vostra lingua, parla delle comunità greche del 96° secolo EU (V secolo a.C.).

Aprite al capitolo dedicato alla Matematica e iniziate a leggere…

Un calderone di idee matematiche

Alle porte del 96° secolo EU (V secolo a.C.) si osserva il passaggio da due grandi centri isolati di Matematica Greca (ovvero quelli di Pitagora e Talete) a un brulicare di tanti piccoli centri di influenza ellenica.

Non abbiamo reperti matematici scritti appartenenti a questo periodo, ma da fonti di seconda (e più) mano possiamo ricostruire l’influenza matematica di scienziati del calibro di Anassagora, Archita di Taranto, Ippia di Elide, Ippocrate di Chio e Zenone di Elea.

Non tutti esclusivamente matematici, ma piuttosto studiosi a tutto tondo del sapere umano.

E come nella migliore tradizione greca antica, mossi dal desiderio puro di conoscenza.

Non è quindi un caso che nella produzione matematica greca del tempo troviamo uno slancio verso problemi e domande astratte e non solo risposte a questioni utili nel quotidiano (come accadeva nella Matematica Mesopotamica).

Questo porta i matematici greci a confrontarsi con idee che mettono in crisi le certezze precostituite.

Ad esempio, la scoperta di grandezze incommensurabili come √2, ottenuta come diagonale del quadrato di lato unitario, che non può essere espressa come rapporto di due numeri interi (cosa che fa letteralmente impazzire la scuola pitagorica).

Oppure idee che mettono in crisi la natura del ragionamento, come i paradossi di Zenone (qui in Missione Scienza abbiamo già discusso di Achille e la Tartaruga e abbiamo trattato i paradossi in generale in una serie di articoli, toccando il barbiere e il mucchio, esami imprevisti e il principio di induzione, e infine il classico mentitore).

Ma partiamo dai tre grandi problemi classici con riga e compasso

Problemi con riga e compasso

Cosa significa risolvere i problemi con riga e compasso?

Significa riuscire a disegnare particolari costruzioni geometriche, attraverso esclusivamente l’uso di righe e compassi idealizzati, senza tacche o graduazioni.

Dati due punti, potete tramite la vostra riga disegnare la retta che li congiunge.
Oppure disegnare, puntando rispettivamente i vertici del vostro compasso, una circonferenza di raggio la distanza tra i due punti, o magari usare quello stesso raggio per disegnarla con centro un terzo punto noto.
E poi giù di intersezioni e prolungamenti a rotta di collo fino a che non ottenete quanto richiesto. Sempre che sia possibile.

E quindi eccoli qui i tre grandi problemi classici su cui i nostri amici greci tanto hanno sbattuto la testa in cerca di soluzione:

1- La quadratura del cerchio:

Costruire, con solo riga e compasso, un quadrato di area uguale a quella di una circonferenza data.

2- Duplicazione del cubo, o “problema di Delo”:

Ottenere, con solo riga e compasso, il lato di un cubo che sia di volume doppio rispetto a quello di un cubo di cui sia dato il lato.

3- Trisezione dell’angolo:

Costruire, con solo riga e compasso, un angolo di ampiezza uguale a un terzo rispetto a quella di un angolo dato.

Dopo tanto sbattimento, sono riusciti a risolverne almeno uno dei tre?
No, ma non per colpa loro.
Il fatto è che sono impossibili da risolvere, ma per esserne certi bisognerà aspettare più di 2200 anni e usare strumenti matematici molto più avanzati.

Numeri come enti geometrici

Fondamentale, infine, per la Matematica Greca del 96° secolo EU (V secolo a.C.) è la nozione di numero inteso come entità geometrica, con il passaggio da un’algebra aritmetica babilonese a un’algebra geometrica.

Questo si traduce in particolare nell’interpretare le equazioni geometricamente: trovare ad esempio quel segmento, quell’area o quel volume (considerati come categorie di entità diverse) che soddisfino certe relazioni.

Al nostro occhio moderno può apparire molto artificioso, ma ha dei vantaggi a livello di intuizione e visualizzazione matematica.

Ad esempio, un antico greco riflettendo sulla proprietà distributiva del prodotto con la somma a(b+c+d)=ab+bc+ac, la avrebbe interpretata come:

Il rettangolo costruito su a e sulla somma dei segmenti b, c e d è uguale alla somma dei rettangoli costruiti su a e su ognuno dei segmenti b, c e d (come da Figura 1)

Figura 1: la proprietà distributiva del prodotto con la somma

 

Oppure, pensando al quadrato di binomio (a+b)²=a² + 2ab + b², avrebbe pensato alla Figura 2 e tutto gli sarebbe stato immediatamente chiaro.

Figura 2: Il quadrato di binomio

 

Epilogo

Chiudete il libro e vi guardate intorno.

La libreria è vicina all’orario di chiusura, i pochi clienti rimasti si accingono a pagare i volumi che hanno scelto.

Di Montana nessuna traccia.

Nonostante il suo stile informale e scanzonato, è sempre stato un individuo di incredibile puntualità.

Arrivate alla conclusione che deve essergli successo qualcosa; che c’entri chi ha rubato l’Arciartefatto?

Grandioso! Ora non solo dovete trovare la refurtiva, ma anche il vostro amico.
In una città a voi sconosciuta.
Dove si parla una lingua che non conoscete.
Con l’ombra di un’entità sconosciuta che potrebbe essere sulle vostre tracce.

“Beh, potrebbe esser peggio…” pensate “Potrebbe piovere!”

Decidete quindi di dirigervi verso il Partenone, mentre il cielo viene squarciato da tuoni e fulmini

 


Vi è piaciuto questo articolo?

Fa parte di una serie sulla Storia della Matematica basata sul testo di Carl Benjamin Boyer [1].
Gli articoli già usciti su Missione Scienza sono:

1 – Origine della Matematica

2 – Matematica nell’Antico Egitto

3 – Matematica Mesopotamica

4 – Matematica Ionica

5 – Brulicante Matematica Greca

Fonti

[1]: Charles Boyer – “Storia della Matematica” – Oscar Mondadori 2021

Lorenzo De Biase

Matematico, ricercatore e sbadato professionista. Non chiedetegli di fare i conti al ristorante, non è capace: vi ritroverete a dover pagare quantità immaginarie ed essere costretti a lavare i piatti per qualche settimana.

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